Μοντέλο AI βρήκε λύση σε διάσημο γρίφο που βασάνιζε μαθηματικούς επί 80 χρόνια

Για ογδόντα χρόνια, ένα φαινομενικά απλό μαθηματικό πρόβλημα παρέμενε ανοιχτό, προκαλώντας γενιές ερευνητών να δοκιμάσουν τις δυνάμεις τους απέναντι σε έναν από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του 20ού αιώνα. Η πρόκληση είχε τεθεί το 1946 από τον θρυλικό Ούγγρο μαθηματικό Paul Erdős και έκτοτε θεωρούνταν σχεδόν αυτονόητο ότι η δική του διαίσθηση βρισκόταν πολύ κοντά στη σωστή απάντηση.

Σήμερα, ογδόντα χρόνια αργότερα, δεν ήταν κάποιος νεαρός ιδιοφυής ερευνητής ούτε μια ομάδα πανεπιστημιακών που αμφισβήτησε τη θεωρία του. Ήταν ένα σύστημα τεχνητής νοημοσύνης της OpenAI.

Η εξέλιξη έχει προκαλέσει έντονη συζήτηση στον κόσμο των μαθηματικών, όχι μόνο επειδή η τεχνητή νοημοσύνη φαίνεται να εντόπισε μια καλύτερη προσέγγιση σε ένα ιστορικό πρόβλημα, αλλά και επειδή ανοίγει ένα νέο κεφάλαιο στη σχέση μεταξύ ανθρώπινης δημιουργικότητας και αλγοριθμικής σκέψης.

Το «πρόβλημα μοναδιαίας απόστασης στο επίπεδο»

Το πρόβλημα που απασχολεί τους μαθηματικούς είναι γνωστό ως «πρόβλημα μοναδιαίας απόστασης στο επίπεδο». Η διατύπωσή του είναι απλή, όπως λένε οι ίδιοι οι ερευνητές. Φανταστείτε ότι τοποθετείτε οποιονδήποτε αριθμό σημείων πάνω σε ένα επίπεδο, όπως ένα λευκό φύλλο χαρτί. Στη συνέχεια μετράτε τις αποστάσεις ανάμεσα σε κάθε πιθανό ζευγάρι σημείων. Το ερώτημα είναι πόσα ζεύγη μπορούν να απέχουν ακριβώς την ίδια απόσταση μεταξύ τους, αν τα σημεία τοποθετηθούν με τον πιο αποδοτικό δυνατό τρόπο.

Όταν ο Έρντος διατύπωσε το πρόβλημα το 1946, υποστήριξε ότι η βέλτιστη στρατηγική ήταν μια διάταξη παρόμοια με πλέγμα ή σκακιέρα. Εκτίμησε επίσης ότι ακόμη και αν ο αριθμός των σημείων αυξανόταν δραματικά, ο αριθμός των ζευγών που θα βρίσκονταν στην ίδια απόσταση δεν θα μπορούσε να ξεπεράσει σημαντικά τον συνολικό αριθμό των σημείων.

Η εικασία του δεν αποδείχθηκε ποτέ πλήρως. Ωστόσο, επί δεκαετίες σχεδόν όλοι οι μαθηματικοί θεωρούσαν ότι πιθανότατα ήταν σωστή. Οι περισσότεροι εργάζονταν πάνω στην υπόθεση ότι ο διάσημος Ούγγρος είχε εντοπίσει τη σωστή κατεύθυνση.

Η ιστορία αποκτά ακόμη μεγαλύτερο ενδιαφέρον αν λάβει κανείς υπόψη το ποιος ήταν ο άνθρωπος πίσω από αυτή την πρόκληση.

Ο Πολ Έρντος γεννήθηκε το 1913 στη Βουδαπέστη και θεωρείται μία από τις πιο εκκεντρικές αλλά και πιο επιδραστικές μορφές στην ιστορία των μαθηματικών. Οι δύο μεγαλύτερες αδελφές του πέθαναν από οστρακιά πριν ακόμη γεννηθεί, ενώ ο πατέρας του αιχμαλωτίστηκε στη Σιβηρία κατά τον Α΄ Παγκόσμιο Πόλεμο και παρέμεινε εκεί για έξι χρόνια.

Μεγαλώνοντας σχεδόν απομονωμένος, ανέπτυξε μια ιδιαίτερη σχέση με τους αριθμούς. «Ερωτεύτηκα τους αριθμούς», είχε πει αργότερα. «Ήταν οι φίλοι μου. Μπορούσα να βασίζομαι σε αυτούς ότι θα είναι πάντα εκεί και θα συμπεριφέρονται πάντα με τον ίδιο τρόπο».

Μετά το διδακτορικό του ακολούθησε έναν εντελώς ανορθόδοξο τρόπο ζωής. Δεν απέκτησε ποτέ μόνιμο σπίτι και ταξίδευε διαρκώς από πανεπιστήμιο σε πανεπιστήμιο φιλοξενούμενος από συναδέλφους του. Συνήθιζε να εμφανίζεται απροειδοποίητα στις πόρτες τους λέγοντας τη διάσημη φράση του: «Το μυαλό μου είναι ανοιχτό».

Κατά τη διάρκεια της ζωής του συνέγραψε περισσότερες από 1.500 επιστημονικές εργασίες, επίδοση που τον καθιστά έναν από τους πιο παραγωγικούς μαθηματικούς όλων των εποχών. Παράλληλα, έγινε γνωστός για την αγάπη του στα ανοιχτά προβλήματα. Δημοσίευε εκατοντάδες μαθηματικούς γρίφους και προσέφερε χρηματικά έπαθλα σε όποιον κατάφερνε να τους λύσει.

Το συγκεκριμένο πρόβλημα ήταν από τα αγαπημένα του. Το 1982 ανακοίνωσε αμοιβή 300 δολαρίων για όποιον αποδείκνυε ή κατέρριπτε την εικασία του. Στα μέσα της δεκαετίας του 1990 αύξησε το ποσό στα 500 δολάρια.

Παρά τις προσπάθειες δεκάδων κορυφαίων μαθηματικών, η οριστική λύση παρέμενε άπιαστη.

Η κατάσταση άρχισε να αλλάζει όταν ερευνητές της OpenAI έδωσαν το πρόβλημα σε ένα εσωτερικό πειραματικό μοντέλο τεχνητής νοημοσύνης. Το μοντέλο δεν περιορίστηκε στην αναζήτηση γνωστών λύσεων ούτε επανέλαβε υπάρχουσες θεωρίες. Αντίθετα, πρότεινε μια εντελώς διαφορετική προσέγγιση βασισμένη σε τεχνικές από τον κλάδο της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών.

Η ιδέα ήταν αρκετά διαφορετική από τις παραδοσιακές προσεγγίσεις ώστε να τραβήξει αμέσως την προσοχή των ειδικών.

Ο μαθηματικός Ντάνιελ Λιτ από το Πανεπιστήμιο του Τορόντο χαρακτήρισε το αποτέλεσμα «το πρώτο πραγματικά ενδιαφέρον και πρωτότυπο εύρημα που έχει παραχθεί αυτόνομα από τεχνητή νοημοσύνη».

«Οι μαθηματικοί τρελάθηκαν»

Η αντίδραση της μαθηματικής κοινότητας ήταν άμεση. Όπως έγραψε η Wall Street Journal, «όλοι οι μαθηματικοί τρελάθηκαν» όταν ανακοινώθηκε η είδηση. Μέχρι πριν από έναν χρόνο, η ιδέα ότι ένα σύστημα τεχνητής νοημοσύνης θα μπορούσε να συμβάλει ουσιαστικά σε ένα τέτοιο πρόβλημα φαινόταν σχεδόν αδιανόητη.

Η ανακοίνωση αυτή ήταν ακόμη πιο σημαντική επειδή η OpenAI είχε βρεθεί στο παρελθόν στο επίκεντρο κριτικής για παρόμοιους ισχυρισμούς. Το 2025 στελέχη της εταιρείας είχαν υποστηρίξει ότι μοντέλο της είχε λύσει δέκα άλυτα προβλήματα του Έρντος. Αργότερα αποδείχθηκε ότι οι λύσεις υπήρχαν ήδη στη βιβλιογραφία και απλώς δεν είχαν καταγραφεί σωστά σε συγκεκριμένες βάσεις δεδομένων.

Αυτή τη φορά η εταιρεία επέλεξε πολύ πιο προσεκτική στάση. Μαζί με την ανακοίνωση δημοσιεύθηκε ανεξάρτητη αξιολόγηση από ομάδα μαθηματικών, ανάμεσά τους και ο Τόμας Μπλουμ του Πανεπιστημίου του Μάντσεστερ, ο οποίος είχε ασκήσει κριτική στις προηγούμενες υπερβολικές διατυπώσεις.

Το πιο ενδιαφέρον είναι ότι το αρχικό εύρημα της τεχνητής νοημοσύνης δεν αποτέλεσε το τέλος αλλά την αρχή της διαδικασίας. Ο μαθηματικός Γουίλ Σόουιν από το Πανεπιστήμιο Πρίνστον αξιοποίησε την ίδια βασική ιδέα και κατάφερε λίγο αργότερα να βρει ακόμη καλύτερη λύση.

Στη συνέχεια, οι ίδιοι ερευνητές χρησιμοποίησαν παρόμοιες τεχνικές για να προχωρήσουν και σε ένα άλλο διάσημο πρόβλημα που είχε διατυπώσει ο Έρντος τη δεκαετία του 1970.

«Ήταν έκπληξη γιατί είχα σκεφτεί αρκετά αυτό το πρόβλημα», δήλωσε ο Μπλουμ. «Μόλις αντιληφθείς ότι κάτι μπορεί να είναι εφικτό, είσαι πρόθυμος να προσπαθήσεις περισσότερο για να το πραγματοποιήσεις».

Η OpenAI δεν δημοσιοποίησε πλήρως τη διαδικασία σκέψης του μοντέλου. Αντ’ αυτού παρουσίασε μια αναδιατυπωμένη περίληψη και μια εκδοχή της απόδειξης επεξεργασμένη από ανθρώπους μαθηματικούς. Αυτό προκάλεσε αντιδράσεις από μερίδα της ακαδημαϊκής κοινότητας, η οποία ζητά μεγαλύτερη διαφάνεια.

Λίγες ημέρες μετά την ανακοίνωση, ομάδα επιστημόνων δημοσίευσε τη λεγόμενη «Διακήρυξη του Λέιντεν για την Τεχνητή Νοημοσύνη και τα Μαθηματικά». Το κείμενο περιλαμβάνει κατευθυντήριες γραμμές για τη χρήση εργαλείων τεχνητής νοημοσύνης στην έρευνα και υπογραμμίζει την ανάγκη διαφάνειας, αναφοράς των χρησιμοποιούμενων εργαλείων και σεβασμού της ακαδημαϊκής διαδικασίας.

Tο περιστατικό σηματοδοτεί μια ιστορική καμπή

Παρά τις επιφυλάξεις, πολλοί ερευνητές θεωρούν ότι το περιστατικό σηματοδοτεί μια ιστορική καμπή.

Η εξήγηση που δίνουν οι ίδιοι οι μαθηματικοί είναι ενδιαφέρουσα. Οι άνθρωποι τείνουν να εξειδικεύονται σε στενά επιστημονικά πεδία και συχνά παραμένουν εγκλωβισμένοι σε συγκεκριμένες υποθέσεις εργασίας. Στην περίπτωση του προβλήματος του Έρντος, οι περισσότεροι πίστευαν εξαρχής ότι η βασική ιδέα του ήταν σωστή και δεν αφιέρωσαν αρκετό χρόνο αναζητώντας εναλλακτικές κατευθύνσεις.

Η τεχνητή νοημοσύνη δεν έχει τέτοιες προκαταλήψεις. Μπορεί να συνδυάζει γνώσεις από διαφορετικούς κλάδους και να εξετάζει χιλιάδες πιθανότητες χωρίς να κουράζεται ή να επηρεάζεται από την αυθεντία ενός διάσημου επιστήμονα.

Όπως σημειώνει ο Γουίλ Σόουιν, η επιτυχία αυτή δεν σημαίνει ότι η τεχνητή νοημοσύνη έλυσε κάποιο αδύνατο πρόβλημα. «Δεν είναι κάτι που οι άνθρωποι δεν θα μπορούσαν να είχαν σκεφτεί. Αλλά είναι μια ιδέα που, απ’ όσο γνωρίζουμε, δεν σκέφτηκαν ποτέ. Δεν είναι το παν, αλλά δεν είναι και τίποτα. Βρίσκεται κάπου ανάμεσα».